เฉลยแบบฝึกหัดภาคตัดกรวยหน่วยที่ 8 สัปดาห์ที่ 15

1.   จงหาสมการของวงกลมตามเงื่อนไขที่กำหนดให้

                                1.1  จุดศูนย์กลางที่ (0,0) รัศมียาว 2 หน่วย

                                วิธีทำ      จากสูตร                               

                                                               

                                                สมการวงกลม คือ                                         Ans                                               

                                1.2  จุดศูนย์กลางที่ (-1,5) รัศมียาว 5 หน่วย

                                วิธีทำ      จากสูตร                               

                                แทนค่า                 

                                                สมการวงกลม คือ Ans       

                       

1.3  จุดศูนย์กลางที่ (3,-3) และสัมผัสกับแกน x และแกน y

วิธีทำ      จากโจทย์ จะได้รัศมียาว 3 หน่วย

                                จากสูตร                                        

                                                               

                                                สมการวงกลม คือ  Ans       

 

1.4    วงกลมที่สัมผัสเส้นตรง   และมีจุดศูนย์กลางที่จุด  (0,7)        

             วิธีทำ   หารัศมีของวงกลมจากสูตร         …………. 

                                  เมื่อ   A =3  , B = -4  ,C = -32  และ   แทนใน ………. 

                               

                                จากสูตร  สมการวงกลม        แทนค่าจะได้   

                                                                          

                                                                สมการวงกลม คือ                     Ans

 

1.5   วงกลมที่ผ่านจุด    จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด

        วิธีทำ       หารัศมีของวงกลมจากสูตร       

                                                แทนค่า  

                                จากสูตร  สมการวงกลม    แทนค่าจะได้   

แทนค่าจะได้      

                               

สมการวงกลม คือ     Ans

 

2.   จงหาจุดศูนย์กลาง และรัศมีของวงกลมที่มีสมการเป็น

                                2.1   x2 + y2 + 4x - 10y + 4  =  0

                                วิธีทำ      สมการรูปทั่วไปของวงกลม   

                                                จุดศูนย์กลาง คือ 

                                                รัศมี คือ 

                                จากสมการ    ; 

                                ดังนั้นจุดศูนย์กลางของวงกลม คือ

                                                รัศมีของวงกลม คือ 

Ans

 
                             \จุดศูนย์กลาง  คือ (- 2 , 5)

                                                                รัศมีของวงกลม คือ  5

                               

2.2    

                                วิธีทำ      สมการรูปทั่วไปของวงกลม   

                                                  จุดศูนย์กลาง คือ 

                                                รัศมี คือ 

                                                จากสมการ    

 

                                                ดังนั้นจุดศูนย์กลางของวงกลม คือ

                                                รัศมีของวงกลม คือ 

Ans

 
                             \จุดศูนย์กลาง  คือ

                                                                รัศมีของวงกลม คือ 

 

                                2.3   

                                วิธีทำ      สมการรูปมาตรฐานของวงกลม คือ     

                                                  จุดศูนย์กลาง คือ  และ   รัศมี  คือ  r

                                                จากสมการ    

 

                                                 ดังนั้นจุดศูนย์กลางของวงกลม คือ

                                                                           รัศมีของวงกลม คือ 

Ans

 
                             \จุดศูนย์กลาง  คือ

                                                                 รัศมีของวงกลม คือ 

 

                                2.4    

                                วิธีทำ      สมการรูปมาตรฐานของวงกลม คือ     

                                                  จุดศูนย์กลาง คือ  และ   รัศมี  คือ  r

                                                จากสมการ    

 

Ans

 
                                                 ดังนั้นจุดศูนย์กลางของวงกลม คือ

                                                                           รัศมีของวงกลม คือ  2                   

 

                    3.   จงหาสมการเส้นสัมผัสวงกลม   ที่จุด     

                           วิธีทำ  จากสมการ

                                                จุดศูนย์กลางของวงกลม คือ 

                                   ความขันของเส้นตรงที่ผ่านจุด   คือ

                                                 ความชันของรัศมีของวงกลมเท่ากับ

                                   แต่ความชันของสมการเส้นสัมผัสวงกลมตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุด 

                                ดังนั้นความชั้นของสมการเส้นสัมผัสเท่ากับ -2 

                                หาสมการเส้นตรงที่มีความชัน -2  และผ่านจุด 

                                จากสูตร   สมการเส้นตรง คือ   

                               แทนค่า     จะได้                

                                                                                  

                                                ดังนั้นสมการเส้นสัมผัสวงกลม คือ             Ans

                                   

            4.   จงหาความยาวของเส้นสัมผัสที่ลากจากจุด  มาสัมผัสวงกลม    

               วิธีทำ จากสมการวงกลม  และเส้นสัมผัสวงกลมลากจากจุด

                        ความยาวของเส้นสัมผัสที่ลากจากจุด  คือ                                  

                          แทนค่า    ในสมการ

                                                     

                                ดังนั้นความยาวของเส้นสัมผัสวงกลมที่ลากจากจุด   ยาว     หน่วย   Ans

 

            5.   จงหาสมการของพาราโบลา ที่มีเงื่อนไขต่อไปนี้  พร้อมทั้งเขียนรูปประกอบ

                    5.1  จุดโฟกัส คือ จุด (0, 3)  จุดยอด คือ (0, 0)

วิธีทำ   จากโจทย์กำหนดให้ และสมบัติของพาราโบลา เขียนรูปได้ คือ 

               

 

 

 

 

 

                 จากรูปเป็นพาราโบลาหงาย  มีจุดยอดคือ (0,0)   จุดโฟกัส คือ จุด (0, 3)   จะได้

                 จากสมการพาราโบลา    ...............  

แทนค่า    ใน .....  สมการพาราโบลา คือ  

                    5.2  จุดยอดที่จุด (0,0) มีแกน x เป็นแกนพาราโบลา   ความยาวของเลตัสเรกตัมเท่ากับ 12 หน่วย

         วิธีทำ   จากโจทย์กำหนดให้ และสมบัติของพาราโบลา  จะได้  |4c| =12 

   เขียนรูปได้ คือ

                                จากรูปพาราโบลาเปิดด้านขวา และเปิดด้านซ้าย

                                                \ สมการพาราโบลา  คือ  y2   =  4 |3|x   = 12x

                                สมการพาราโบลา  คือ        y2   =  -4 |3|x  = -12x                           

                                               

                    5.3   จุดยอดที่จุด (0,0) จุดโฟกัสที่จุด  ( 0 , - 4 )

                วิธีทำ   จากโจทย์กำหนดให้ และสมบัติของพาราโบลา เขียนรูปได้ คือ 

 

 

 

 

 

 

   จากรูปเป็นพาราโบลาคว่ำ และ 

                สมการเป็นอยู่ในรูป   แทนค่า c  =  - 4     

                      ดังนั้นสมการพาราโบลา คือ                   Ans

                       

                    5.4   จุดยอดที่จุด (0,0) ความยาวเเลตัสเรกตัม 8 หน่วย   กราฟพาราโบลาเปิดไปทางซ้าย

                วิธีทำ    จากโจทย์กำหนดให้  |4c| = 8     (กราฟเปิดทางด้านซ้าย)

                                และจากสมบัติของพาราโบลา เขียนรูปได้ คือ 

                  

สมการเป็นอยู่ในรูป   แทนค่า c  =  - 2     

                      ดังนั้นสมการพาราโบลา คือ                              Ans

                    5.5    จุดยอดที่จุด (0,0)  ความยาวเลตัสเรกตัม 16  หน่วย  และกราฟพาราโบลาเป็นรูปหงาย

         วิธีทำ    จากโจทย์กำหนดให้  |4c| = 16     (กราฟเป็นรูปหงาย)

                         และจากสมบัติของพาราโบลา เขียนรูปได้ คือ

                   

สมการเป็นอยู่ในรูป   แทนค่า c  =   4     

                      ดังนั้นสมการพาราโบลา คือ                                               Ans

                    5.6    จุดยอดที่จุด (0,0)   สมการเส้นบังคับคือ   x – 10  =  0

                วิธีทำ  จากโจทย์กำหนดให้ และสมบัติของพาราโบลา เขียนรูปได้ คือ 

               

 

 

 

 

       

   

จากสมบัติของพาราโบลา จะได้    

สมการเป็นอยู่ในรูป   แทนค่า c  =  - 10     

         ดังนั้นสมการพาราโบลา คือ                                   Ans

           

                    5.7      จุดโฟกัส คือ จุด (4, -3)      จุดยอด คือ (4, -1)

                                วิธีทำ      จากโจทย์กำหนดให้ และสมบัติของพาราโบลา เขียนรูปได้ คือ 

 

 

 

 

 


                                               

 

 

จากรูปเป็นพาราโบลาคว่ำ และ ค่า

                                                                (  F( h , k + c ) = (4, -3)  เมื่อ  k = -1     -1+ c  =  -3  ;      c = -2   )

                                                จากสมการ  แทนค่าจะได้

                                                                  

                                          ดังนั้นสมการพาราโบลา คือ                    Ans

 

                    5.8      จุดโฟกัส คือ จุด (-2, -1)    ไดเรกตริกซ์ คือ y  =  -5

                                วิธีทำ    จากโจทย์กำหนดให้ และสมบัติของพาราโบลา เขียนรูปได้

 

 

 

 

 

 

                                                จากรูปเป็นพาราโบลาหงาย  มีจุดยอดคือ (-2,-1) และ

                                                สมการเป็น 

                                                                         

                                                ดังนั้นสมการพาราโบลา คือ                  Ans

                    5.9  จุดยอดที่ (3,2) จุดโฟกัสที่ (5,2)

                      จากโจทย์กำหนดให้ และสมบัติของพาราโบลา เขียนรูปได้ คือ 

จากรูปเป็นพาราโบลาเปิดทางขวา และ และ F (h + c , k)  =  (5 , 2)   

นั่นคือ  h + c  =  5  แทนค่า  h = 3   \c  =  2

                                จากสมการ  แทนค่าจะได้

                                 

                                          ดังนั้นสมการพาราโบลา คือ                                   Ans

                       

                    5.10    จุดยอด (3 , - 2) และโฟกัสคือ (3 , - 6)

จากโจทย์กำหนดให้ และสมบัติของพาราโบลา เขียนรูปได้ คือ 

จากรูปเป็นพาราโบลาคว่ำ และจุดยอด  (h , k)  =  (3 , - 2)

จุดโฟกัส  (h , k + c)  = ( 3 , - 6 )  แทนค่าจะได้  c  =  - 4     

                      จากสมการ  แทนค่าจะได้

                                                  

                                ดังนั้นสมการพาราโบลา คือ                                            Ans

                    5.11   จุดโฟกัส (4 , 2) และสมการ ไดเรกตริกซ์ คือ  x   =  -2

                                วิธีทำ   จากโจทย์กำหนดให้ และสมบัติของพาราโบลา เขียนรูปได้ คือ 

                                                จากรูปพาราโบลาเปิดทางขวา และจุดยอดคือ V(1,2)

                                                จากสมการ

                                                                         

                                                ดังนั้นสมการพาราโบลา คือ

 

                    5.12   จุดยอด (2 ,3) และ จุดโฟกัส (6 , 3)

                                วิธีทำ     จากโจทย์กำหนดให้ และสมบัติของพาราโบลา เขียนรูปได้ คือ 

จากรูปเป็นพาราโบลาเปิดทางขวา และ และ F (h + c , k)  =  (6 , 3)   

นั่นคือ  h + c  =  6  แทนค่า  h = 2   \c  =  4

                                                จากสมการ  แทนค่าจะได้

                                 

                                 ดังนั้นสมการพาราโบลา คือ                   

 

                    5.13   จุดยอด (0 ,2) ความยาวเลตัสเรกตัม 6 หน่วย และรูปพาราโบลาเปิดไปทางขวา

                                วิธีทำ     จากโจทย์กำหนดให้  จะได้  |4c| = 6 และรูปพาราโบลาเปิดไปทางขวา

                                  และจุดโฟกัสอยู่ที่จุด

                                 จุดโฟกัสคือ  เขียนรูปพาราโบลาได้คือ 

 

 

 


                               

 

 

 

                                                จากสมการ  …………….

เมื่อ   แทนใน .............    จะได้

                                                                         

                                ดังนั้นสมการพาราโบลา คือ                                                Ans

                       

                    5.14   จุดยอด (- 1, 2) แกนของพาราโบลาขนานกับแกน y และผ่านจุด (3 , 6)

                    วิธีทำ    เนื่องจากแกนของพาราโบลาขนานกับแกน y  เขียนรูปได้พาราโบลาเป็นรูปหงาย   และ  

 

 

 

 

   

 

 

 

                                สอดคล้องกับสมการ    …………..…..

                แทนค่า x = 3 ,  y = 6 ,   h  =  - 1 ,  k  =  2 ,   ……..  จะได้

                                                  

                                แทนค่า  h  =  - 1 ,  k  =  2 ,  c  =  1 ใน  ……..

                                               

                                ดังนั้นสมการพาราโบลา คือ                                                Ans

               

                    6.   จงหาจุดยอด  จุดโฟกัส  สมการ ไดเรกตริกซ์(สมการเส้นบังคับ)   และความยาวของเลตัสเรกตัม

                       พร้อมทั้งเขียนรูปประกอบ

                                6.1     x2 + 4x – 16y + 4  =  0

                                                วิธีทำ     

                                                                                     

                                สอดคล้องกับสมการ 

                                                จะได้จุดยอด  และ   (กราฟหงาย)

                                                จุดโฟกัส คือ                                     

                                                ความยาวเลตัสเรกตัม                                                                       

                                                สมการของเส้นบังคับ      หรือ   

                                                                          เขียนรูปพาราโบลาได้เป็นรูปพาราโบลาหงาย

 

 

 

 

 

 


       

                                                               

                                6.2   2x2 + 8y = 0

                                                วิธีทำ     2x2 + 8y = 0

เขียนรูปพาราโบลาได้เป็นรูปพาราโบลาคว่ำ

 
                                                                               

                                                สอดคล้องกับสมการ    x2    =  4cy

                                จะได้ c =  และกราฟคว่ำ  (c < 0)

แกนกราฟ คือแกน y

                                โฟกัสคือ               (0 , -1)

                                จุดยอดคือ              (0 , 0)

                                ความยาวเลตัสเรกตัม                            

                                สมการ ไดเรกทริกซ์ คือ      y  =  1    

                               

                                6.3   

วิธีทำ          

                                         

                                            สอดคล้องกับสมการ 

                              จะได้จุดยอด  และ   (c > 0 กราฟเปิดด้านขวา)

                              จุดโฟกัส คือ                                     

                              ความยาวเลตัสเรกตัม                                                              

                              สมการของเส้นบังคับ      หรือ   

                                           เขียนรูปพาราโบลาได้เป็นรูปพาราโบลาเปิดด้านขวา

         

               

เขียนรูปพาราโบลาได้เป็นรูปพาราโบลาเปิดด้านซ้าย

 
 


6.4   

                                                วิธีทำ                                    

                                                                        

                               สอดคล้องกับสมการ 

                              จะได้จุดยอด  และ   

                              จุดโฟกัส คือ                                                

                              ความยาวเลตัสเรกตัม                                                                     

                              สมการของเส้นบังคับ      หรือ